1. Estatística descritiva e análise exploratória

Toda medida de engenharia traz variabilidade: dois corpos de prova do mesmo lote rompem a cargas diferentes, duas medições da mesma peça discordam na terceira casa. A estatística existe para descrever e domar essa variação (Montgomery and Runger 2021). A análise descritiva é o primeiro passo — resumir os dados por medidas e gráficos antes de qualquer inferência.

Usaremos um marco da metrologia: as 100 medições da velocidade da luz feitas por Michelson em 1879 (morley), registradas como o valor em km/s menos 299 000 (Michelson 1882).

medicoes <- morley$Speed   # km/s, subtraído de 299000
rnp_descritiva(medicoes)
#> # A tibble: 1 × 21
#>       n n_validos n_faltantes  soma media mediana  moda desvio variancia   min
#>   <dbl>     <dbl>       <dbl> <dbl> <dbl>   <dbl> <dbl>  <dbl>     <dbl> <dbl>
#> 1   100       100           0 85240  852.     850   880   79.0     6243.   620
#> # ℹ 11 more variables: q1 <dbl>, q3 <dbl>, max <dbl>, amplitude <dbl>,
#> #   iqr <dbl>, cv <dbl>, se_media <dbl>, ic_inf <dbl>, ic_sup <dbl>,
#> #   assimetria <dbl>, curtose <dbl>

Exatidão e precisão

A média das medições corresponde a uma velocidade estimada de 2.99852^{5} km/s, enquanto o valor moderno é 299 792 km/s. Essa diferença sistemática de cerca de 60 km/s é um viés (erro de exatidão), distinto da dispersão aleatória (a precisão). Engenheiros separam os dois: a média localiza o centro; o desvio-padrão mede o espalhamento.

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \qquad s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2.$$

O divisor $n-1$ (os graus de liberdade) torna $s^2$ um estimador não-viesado da variância populacional: como os desvios em torno de $\bar{x}$ somam zero, apenas $n-1$ deles são livres.

rnp_momentos(medicoes)$resumo
#> # A tibble: 1 × 6
#>   media variancia desvio_padrao assimetria curtose_excesso     n
#>   <dbl>     <dbl>         <dbl>      <dbl>           <dbl> <dbl>
#> 1  852.     6243.          79.0    -0.0183           0.264   100

A assimetria praticamente nula ($g_1 \approx 0$) e a curtose próxima da Normal sugerem uma distribuição simétrica — coerente com erros de medição aleatórios.

A regra empírica

Para dados aproximadamente Normais, a regra empírica afirma que cerca de 68%, 95% e 99,7% das observações caem a 1, 2 e 3 desvios-padrão da média. Verificando:

m <- mean(medicoes); s <- sd(medicoes)
sapply(1:3, function(k) round(mean(abs(medicoes - m) <= k * s) * 100, 1))
#> [1]  67  97 100

Os valores observados (67%, 97%, 100%) acompanham de perto os teóricos (68,3%, 95,4%, 99,7%) — forte indício de normalidade, que justificará, adiante, o uso de intervalos de confiança e testes baseados na Normal.

Histograma e box plot

O histograma exibe a forma da distribuição:

rnp_grafico_histograma(morley, "Speed", bins = 12)

Michelson conduziu cinco experimentos de 20 medições. Comparando-os pelo box plot, revela-se algo que a média global esconde:

morley$Experimento <- factor(morley$Expt)
rnp_grafico_boxplot(morley, x = "Experimento", y = "Speed")

O primeiro experimento é sistematicamente mais alto (média 909 contra ~830 nos demais): um viés entre execuções, típico de problemas de calibração. Detectar diferenças entre grupos é o embrião da análise de variância (ANOVA).

O gráfico de probabilidade normal

A ferramenta que o engenheiro usa para decidir se um conjunto de dados é Normal é o gráfico de probabilidade normal: ele confronta os quantis amostrais com os teóricos da Normal. Se os pontos se alinham sobre a reta, a hipótese de normalidade se sustenta (Montgomery and Runger 2021).

rnp_grafico_qq(medicoes)

Os pontos seguem a reta de perto, sem curvatura sistemática — o teste de Shapiro-Wilk confirma ($p = 0.51$, não se rejeita a normalidade). Isso autoriza modelar as medições como Normais.

Dispersão relativa e robustez

Medida	Fórmula	Quando usar
Desvio-padrão	$s$	dispersão na unidade dos dados
IQR	$Q_3 - Q_1$	dispersão robusta a outliers
Coef. de variação	$\text{CV} = s/\bar{x}$	comparar variabilidade de escalas diferentes

rnp_descritiva(medicoes)[c("desvio", "iqr", "cv")]
#> # A tibble: 1 × 3
#>   desvio   iqr     cv
#>    <dbl> <dbl>  <dbl>
#> 1   79.0    85 0.0927

O CV de 0.093 indica que o desvio-padrão é cerca de 9% da média — boa precisão para os instrumentos de 1879. Para detectar valores discrepantes, o critério de Tukey (cercas a $1{,}5\,\text{IQR}$) é o mais defensável por ser robusto:

rnp_outliers(medicoes, method = "iqr")
#> # A tibble: 3 × 2
#>   indice valor
#>    <int> <int>
#> 1      4  1070
#> 2     14   650
#> 3     47   620

Síntese

Pergunta de engenharia	Função	Conceito
Qual o valor central e a dispersão?	rnp_descritiva	média, $s$, exatidão × precisão
Qual a forma?	rnp_momentos	assimetria, curtose
Os dados são Normais?	rnp_grafico_qq	gráfico de probabilidade normal
Há diferença entre execuções?	rnp_grafico_boxplot	comparação de grupos
Há medições discrepantes?	rnp_outliers	cercas de Tukey

Descrever a variabilidade — e checar a normalidade antes de assumi-la — é o alicerce sobre o qual se constrói a inferência. O próximo passo, entender por que a média amostral se comporta de forma previsível, leva à probabilidade.

Exercícios

Resolva computacionalmente com o rnp, usando os conjuntos morley, mtcars, trees, faithful e airquality.

1. Calcule média, mediana e desvio-padrão de mtcars$mpg (rnp_descritiva).
2. O consumo mtcars$mpg é assimétrico? Calcule $g_1$ e $g_2$ (rnp_momentos).
3. Compare o coeficiente de variação de mtcars$mpg e mtcars$hp: qual grandeza varia mais, em termos relativos? (rnp_descritiva).
4. Calcule as quatro médias (aritmética, geométrica, harmônica, quadrática) de c(2, 4, 8, 16) e verifique a desigualdade entre elas (rnp_medias).
5. Construa a tabela de frequências de mtcars$cyl (rnp_tabela_frequencia).
6. Agrupe mtcars$mpg em classes pela regra de Sturges (rnp_tabela_classes).
7. Identifique os outliers de mtcars$hp pelo critério de Tukey (rnp_outliers).
8. A variável trees$Volume é Normal? Use o gráfico de probabilidade normal (rnp_grafico_qq) e o teste de Shapiro-Wilk (rnp_teste_normalidade).
9. Construa um box plot de mpg por número de cilindros e descreva as diferenças (rnp_grafico_boxplot).
10. Verifique a regra empírica (68-95-99,7) para mtcars$qsec.
11. Construa a tabela de contingência entre cyl e gear (rnp_tabela_contingencia).
12. O histograma de faithful$waiting sugere quantas modas? (rnp_grafico_histograma).
13. Calcule os momentos de airquality$Wind (removendo NA): a variável é simétrica? (rnp_momentos).
14. Resuma a estrutura de airquality (rnp_estrutura): quantas variáveis têm valores faltantes e em que proporção?
15. Compare a precisão (desvio-padrão) entre os cinco experimentos de morley: qual foi o mais preciso? (rnp_descritiva_by).

Referências

Michelson, Albert A. 1882. “Experimental Determination of the Velocity of Light.” Astronomical Papers 1: 109–45.

Montgomery, Douglas C., and George C. Runger. 2021. Estatística Aplicada e Probabilidade Para Engenheiros. 7th ed. LTC.