8. Séries temporais: modelos ARIMA e SARIMA • rnp

Uma série temporal é uma sequência de observações ordenadas no tempo, em que a dependência entre instantes vizinhos é a própria informação de interesse. A metodologia de Box-Jenkins (Box et al. 2015; Morettin and Toloi 2006) modela essa dependência em três etapas: identificação, estimação e diagnóstico. Usamos a série clássica AirPassengers (passageiros aéreos mensais, 1949-1960), que combina tendência e sazonalidade.

rnp_grafico_serie(as.numeric(AirPassengers), titulo = "Passageiros aéreos mensais")

Série de passageiros aéreos

Estacionariedade

Um processo é estacionário se média, variância e autocovariâncias não variam no tempo — condição necessária para os modelos ARMA. O teste de Dickey-Fuller aumentado (ADF) tem $H_0$ : existe raiz unitária (série não estacionária):

rnp_ts_adf(as.numeric(AirPassengers))
#> # A tibble: 1 × 5
#>   estatistica   lag valor_critico_5 p_valor_aprox estacionaria
#>         <dbl> <dbl>           <dbl>         <dbl> <lgl>       
#> 1      -0.962     5           -2.86           0.1 FALSE

A estatística $-0{,}96$ está acima do valor crítico $-2{,}86$ : não se rejeita a raiz unitária. A série precisa ser diferenciada. Tomando o logaritmo (para estabilizar a variância) e diferenciando:

rnp_ts_adf(diff(log(as.numeric(AirPassengers))))
#> # A tibble: 1 × 5
#>   estatistica   lag valor_critico_5 p_valor_aprox estacionaria
#>         <dbl> <dbl>           <dbl>         <dbl> <lgl>       
#> 1       -6.46     5           -2.86          0.01 TRUE

Agora a estatística $-6{,}46$ é bem menor que o crítico: a série diferenciada é estacionária. O teste KPSS ( $H_0$ : estacionariedade) confirma de forma complementar.

Modelo ARIMA

Um modelo ARIMA $(p, d, q)$ combina parte autorregressiva (AR), $d$ diferenças e parte de médias móveis (MA), escrito com o operador de defasagem $B$ como

$\phi(B)\,(1 - B)^d\, y_t = \theta(B)\,\varepsilon_t,$

onde $\phi(B) = 1 - \phi_1 B - \dots - \phi_p B^p$ e $\theta(B) = 1 + \theta_1 B + \dots + \theta_q B^q$ .

A identificação clássica lê a ordem na ACF e na PACF: um corte abrupto na ACF após o lag $q$ sugere MA( $q$ ); um corte na PACF após o lag $p$ sugere AR( $p$ ).

rnp_grafico_acf(lh, tipo = "acf")

ACF e PACF da série lh

rnp_grafico_acf(lh, tipo = "pacf")

ACF e PACF da série lh

A seleção automática por AICc dispensa essa leitura manual e compara muitos candidatos de uma vez:

rnp_auto_arima(lh, max_p = 2, max_d = 1, max_q = 2)$selecao
#> # A tibble: 5 × 4
#>       p     d     q criterio_aicc
#>   <int> <int> <int>         <dbl>
#> 1     0     0     2          63.6
#> 2     1     0     0          65.0
#> 3     2     0     0          65.0
#> 4     1     0     2          66.0
#> 5     1     0     1          66.1

Para a série lh (hormônio luteinizante), o melhor modelo é um MA(2), com AICc mínimo de $63{,}6$ .

Modelo SARIMA

Quando há sazonalidade de período $s$ , o modelo SARIMA acrescenta termos sazonais $(P, D, Q)_s$ :

$\phi(B)\,\Phi(B^s)\,(1 - B)^d (1 - B^s)^D\, y_t = \theta(B)\,\Theta(B^s)\,\varepsilon_t.$

O famoso “modelo airline” de Box-Jenkins é o SARIMA $(0,1,1)(0,1,1)_{12}$ sobre o log da série:

fit <- rnp_sarima(log(AirPassengers), ordem = c(0, 1, 1),
                  sazonal = c(0, 1, 1), periodo = 12)
fit$coeficientes
#> # A tibble: 2 × 5
#>   termo estimativa erro_padrao     z p_valor
#>   <chr>      <dbl>       <dbl> <dbl>   <dbl>
#> 1 ma1       -0.402      0.0896 -4.48       0
#> 2 sma1      -0.557      0.0731 -7.62       0

Ambos os coeficientes (MA não-sazonal e MA sazonal) são altamente significativos.

Diagnóstico dos resíduos

Um bom modelo deixa resíduos indistinguíveis de ruído branco. O teste de Ljung-Box verifica ausência de autocorrelação:

rnp_ts_residuos(fit)
#> # A tibble: 2 × 4
#>   teste        estatistica p_valor interpretacao    
#>   <chr>              <dbl>   <dbl> <chr>            
#> 1 ljung-box          8.81    0.359 ruido branco (ok)
#> 2 shapiro-wilk       0.986   0.167 normalidade ok

Ljung-Box com $p = 0{,}36$ (não rejeita ruído branco) e Shapiro-Wilk com $p = 0{,}17$ (normalidade preservada): o modelo está adequado.

Previsão

Validado o modelo, projetam-se valores futuros com intervalos de predição:

rnp_ts_previsao(fit, h = 24)$grafico

Previsão SARIMA com intervalos

A faixa cinza representa a incerteza crescente da previsão — quanto mais longe o horizonte, mais larga.

Outras ferramentas

Função	Uso
`rnp_ts_kpss`	teste de estacionariedade (complementa o ADF)
`rnp_ts_ccf`	correlação cruzada entre duas séries
`rnp_ts_var`	autorregressão vetorial + causalidade de Granger
`rnp_ts_garch`	modelagem de volatilidade (séries financeiras)

Síntese

A modelagem Box-Jenkins é um ciclo: identificar a ordem (estacionariedade, ACF/PACF, AICc), estimar os parâmetros, diagnosticar os resíduos e só então prever. Cada etapa tem sua função no rnp, e o diagnóstico de resíduos é o que separa um modelo confiável de um ajuste cego.

Exercícios

Resolva com o rnp, usando as séries AirPassengers, lh, nottem, UKgas e sunspot.year.

A série UKgas é estacionária? Aplique os testes ADF e KPSS (rnp_ts_adf, rnp_ts_kpss).
Estabilize a variância e diferencie até obter estacionariedade (rnp_ts_diferenciacao).
Examine a ACF e a PACF da série diferenciada (rnp_grafico_acf).
Selecione automaticamente a ordem ARIMA de lh (rnp_auto_arima).
Ajuste o modelo escolhido e interprete os coeficientes (rnp_arima).
Diagnostique os resíduos pelo teste de Ljung-Box (rnp_ts_residuos).
Ajuste um SARIMA ao log de AirPassengers (rnp_sarima).
Faça a previsão de 24 meses com intervalos (rnp_ts_previsao).
Calcule a média móvel de 12 meses de AirPassengers (rnp_media_movel).
Aplique a suavização exponencial e compare com a média móvel (rnp_suavizacao_exponencial).
Decomponha nottem em tendência, sazonalidade e ruído (rnp_ts_decomposicao).
Aplique o Holt-Winters a AirPassengers (rnp_ts_holt_winters).
Calcule o periodograma de sunspot.year e identifique o período dominante (rnp_ts_periodograma).
Ajuste um VAR de ordem 2 a duas séries (mdeaths, fdeaths) e teste a causalidade de Granger (rnp_ts_var).
Simule uma série com volatilidade variável e ajuste um GARCH(1,1) (rnp_ts_garch).

Referências

Box, George E. P., Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel, and Greta M. Ljung. 2015. Time Series Analysis: Forecasting and Control. 5th ed. Wiley.

Morettin, Pedro A., and Clelia M. C. Toloi. 2006. Análise de séries Temporais. 2nd ed. Edgard Blücher.